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“从无到有”推进课堂问题——案例分析《平行线分线段成比例》——李振河
发布时间:2018/9/26 被浏览次数:310

 

 

我们的课堂教学目标在关注立德树人的基础上,进一步培养学生的学习能力、高阶思维能力.什么是高阶思维能能力?根据布鲁姆的认知理论,教育目标分为识记、理解、应用、分析、综合、评价六个层次,高阶思维就是分析、综合、评价.然而,目前我们嘴上呼喊“高阶思维”,但实际课堂教学多数还是停留在识记、理解、应用的低层面上.

为何造成这样的局面,除了应试教育的残渣余孽,还受我们教师自身思维方式的影响;说得直接一点我们有些教师似乎不常用“我是谁?我从哪里来?我又要去往哪里?这样的哲学句式,上课的问题推进没有体现:这个问题意义何在?它从哪里来?它又去往哪里?如果要想清楚几个问题,那么就与整个单元教学或者整个学段的大概念有关了.

我个人的体会,要推进学生的思维,些时候,教师应尽可能地模仿第一个现问题解决问题的人,并用其探究问题的方法培育训练学生.为什么是“一些时候”?因为课时数有限,是因为我们教师自己可能也不清楚问题是如何“从无到有”地产生.我们的现行教材中或问题或概念一般有垂直而下(学科内部)与水平而来(实际生活)两种它们大多数直接抛给读者教材也不阐述为什么有这个问题. 但是教材毕竟是教材,它暗含的思路要教去挖掘解读.

下面以《平行线分线段成比例》为例,通过比较分析不同的教学方法,思考如何才能发展提高学生的高阶思维能力.

进入九年级,数学教材的开篇章就是《相似三角形》在此章节里,先出现的概念是比例线段.基于“从特殊到一般”的认知规律,先学习关于三角形一边平行线的性质及判定再推广到平行线分线段成比例.对于平行线分线段成比例这节课,我曾试过三种方法,“统一教材”法、“校本资料”法、“从无到有”法,具体课堂教学学生复习旧知识、学习新知识并运用新知识的过程如下

 

一、     “统一教材”

按照教材设计的目标与过程开展课堂教学.

1复习旧知识:如图(1),在基本图形A字型,三角形ABC中,DFBC平行),再添一条平行BC的线段EG形成组合图形在此组合图形中,复习三角形一边平行线相关定理,并通过添平行线DH将较复杂图形转化为简单图形,即基本图形(A字型,三角形DBH中,EIBH平行),从而应用三角形一边平行线的性质定理证明组合图形中的其他一些比例线段,如DE/EB=FG/GC.

2引入新内容:画出图(1)中线段所在的直线并去除点A,得图(2两条直线被三条平行直线所截.通过上述(1)旧知复习的方法,巩固添平行线的基本技能,得到平行线分线段成比例定理及其推论.

3应用新知识:利用图(2或图(3,根据已知两条相交直线上的三条线段的长(其中须已知两条对应线段的比值),计算第四线段的长或求作第四条线段.

 

 

 

 

 

图(1                   图(2)                      图(3

显然,整节课基本达成识记、理解、应用,即认知的前三层目标,学生再一次体验了从特殊到一般的思考问题的方法,并运用数学的转化思想通过添平行线用旧知识解决问题.但在由已知线段a,b,c未知线段x过程中,学生首先想到的是ABC作三条平行线,如图3中的三条平行虚线,他们刻板地从本节课的新学定理的表象出发,而没有从定理的本质添平行线构造基本图形的思想出发,因此难以解决问题后经启发,学生才解决问题.因此我们不得出,这节课虽然师生都比较轻松也不乏活跃,但并没有提高学生的分析综合等能力,学生的高阶思维没有发展.

 

二、     “校本资料”法:

在满足国家课程标准基础上,根据本校的学情,整合教材内容与学校多年积累资料进行教学设计,本节课相较“统一教材”法,加入了“提高学生高阶思维”的教学目标.开展过程主要如下:

1复习旧知识:在基本图形内(A字型,三角形ABC中,DEBC平行),再添一条平行于BC直线FG形成组合图形,在此组合图形中,复习三角形一边平行线的性质定理,并通过多种方法,如图4567证明得到DF/FB=EG/GC .4,不添辅助线,两次运用A字型;图5,添辅助线,一次运用A字型;图6,添辅助线,两次运用A字型;图7,面积法.

 

 

 

 

 

        图(4)             图(5)          图(6)         图(7

继续复习三角形一边平行线的判定定理,借助图4),AD/DF=AE/EC,得DEFG平行;AD/DB=AE/EC ,得DEBC平行;由AF/FB=AG/GC,得FGBC平行.DF/FB=EG/GC ,那么能不能得到DEFGBC三条平行?有同学举反例,否定.

2学习新内容:在图4基础上,画出所有线段所在直线得图8,去除A点后得图9;根据图9,证明并得到平行线分线段成比例及其;并进一步讨论得出这条定理及其推论的逆命题都是假命题.

 

 

 

 

 

 

 

              8                  图9)               10

3应用新知识:在与图(9)有不同的10中,已知两条相交直线上的三条线段的长(其中须已知两条对应线段的比值),求第四条线段.继续探讨.我们已在图(5)中讨论,因此同样在图(9)中,DF/FB=EG/GC不能证明DEFGBC三条平行;若增加条件DEBC平行,那么能否证明DEFGBC三条平行?同学们通过延长FDGE交于A点,运用三角形一边平行线的性质定理与判定定理得到了三条平行的结论.也有同学运用同一法证明得到正确的结论.

这节课主要内容虽然也是三大块,即复习旧知、学习新知并运用新知,但是课堂密度大,变式内容多;基训练扎实,思维丰富深入;因而学生的分析、比较等能力得以培养.

由于整堂课节奏很快,因此教师学生的神经都是绷紧的.然而,我并不认为这是件大好事,因为当师奋力拉着学生没有节奏感地全程奔跑时,教师不自觉地包办了学生的问题;特别对于那些反应不很快的学生而言,他们很容易丧失对学习的兴趣及自主性.

 

三、     “从无到有”法:

为了培养学生自主学习的能力,培养学生科学家那样在真实情境下从无到有发现问题、探究解决问题我想我们教师要在课堂上设计环节以促使学生体会并思考事物发生变化的因素有哪些?问题怎么来的?我们为什么要研究这个而不是研究那个?如何去研究?研究的维度有那些?要研究“平行线分线段成比例”,我们教师要创设情境促使学生思考为何要去研究这四条线段,我们怎么猜想并证明它们之间成比例而不是其他关系?我认为要想清楚这些问题,需基于知识间的联系,包括单元内的甚至学段内的联系.

1) 复习旧知:如下图(11),从三角形中位线的推广出发,这里推广是指由特殊位置平移推至一般位置,给出“三角形一边的平行线性质定理及其推广”和“三角形一边的平行线判定及推广”,并让学生思考命题“若DE/BC=AD/AB,则DEBC平行”是否为真. 在学生给出否定回答并给出反例图11)后,提出能否在现有推广的基础上再进行推广,比如能否不用三角形或者是增加平行线的条数,(甚至将直线AB和直线CD改成曲线).

2) 引入新内容:在学生提出可以将三角形改成梯形时,我补充了增加平行线的条数 (由于圆的相关知识未学,曲线暂不提及),并通过图(12)说明只要增加平行线的条数自然可以得到梯形中有平行线的问题,于是将问题转化为三角形中增加平行线的条数,可以得到什么样的结论. 在此基础上,让学生来回答在图(12)的(a)中能够得到什么样的比例线段,有多少教师选择了GE/BE=FD/DC学生在图(12)的(a)及(b )中进行证明.

3抽象升华得到定理:证明后,学生再次观察发现,是否是三角形并不重要,是否是梯形也不重要,重要的仅是两条直线被三条平行线所截得的线段,于是同学们把主要要素抽象出来,就得到平行线分线段成比例定理,如图13. 再次回到中点我们就发现了定理的推论. 在此特意通过例子强调了这里的对应线段的含义.

4再次推广:两条直线n(≥3条平行直线得的对应线段成比例.

5总结并提出问题:之前学习的“三角形一边的平行线性质定理”与“三角形一边的平行线判定定理”,它们互为逆定理,请学生思考平行线分线段成比例定理及其推论的逆命题是什么,是不是真命题?

 

 

 

 

 

 

 

  

 

在整个教学过程中,通过对以往知识的进一步推广,激发学生对以往学习过的定理的反思从而抽象出以往定理的基本要素;并尝试改变这些要素的约束条件或者颠倒他们的条件和结论以产生新的命题,继而探究这些命题的真假.这样的课堂,不仅仅提高学生高阶思维能力,培养学生自主学习,也让学生真正理解定理和定理之间的相互关系,对单元教学大有裨益.

但是在教学过程中,由于问题的抽象性,因此需要学生有逻辑地层层深入地思考问题,因此课堂时间变得不够用迫使我们教师必须认真备课精心设问以提高课堂有效性.

 

综上,这三种教学方法在我们的日常教学中其实各有利弊(各段已评),由于统一教材要兼顾到各类层次的学生,所以对于问题的产生背景以及问题的深入不能够展开太多. 对于我学生,仅仅使用课本的处理方式显然是不够的,需要有一定的思维深度与广度,需要培养学生高阶思维并且,对于真正有思维有创新能力的学生,仅学会灵活运用基本方法处理问题也是同样不够的他们更要知道问题如何产生如何推进解决,毕竟提出和解决真实问题才是我们学生以后真正的生活.

 

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