一、教学目标

1.知道并了解三角形的定义，学会解读定义中的关键字词.

2.体会“操作实验——归纳总结”的数学研究过程，掌握三条线段要构成三角形所须满足的条件.

3.通过说理得出并掌握三角形的三边关系.

4.灵活应用所学的三角形的边的关系，层层深入，探索新的结论以及特殊三角形边的特点.

 

二、教学重点

掌握三条线段要组成三角形所须满足的条件以及三角形的三边关系

 

三、教学难点

1.理解并掌握三角形三边关系

2.能够灵活应用三角形三边关系探索新的结论

 

四、教学过程

1. 三角形概念

展示以下图片：金字塔、港珠澳大桥、三角形场馆

在这些建筑中都有三角形的形象

我们从这些图中抽象出数学上所说的三角形，在黑板上画一个，

提问1：我们如何给三角形下个定义？

在学生讲述的过程中，引导学生注意关键词：不在同一直线上、三条线段、首尾顺次联结

在学生讲述的基础上修正得到三角形的定义：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形.

 

引出课题：14.1 三角形的有关概念（1）

三角形的边——组成三角形的三条线段AB、BC、CA，也可用a，b，c表示

三角形的顶点——点A、点B、点C

三角形的内角——相邻两边所组成的角∠A、∠B、∠C

三角形的记法——顶点为ABC的三角形记作

 

 

2. 三边关系

提问2：若给定三条线段，我们如何用定义去判断它们能否构成三角形？（三条线段可以运动）

提示学生关注定义中的关键词，并知道其实是要判断这三条线段是否能够做到首尾顺次联结.

实物展示让学生有直观感受，再从具体到抽象，让学生用画图来体会和判断.

提问3：现在我们有以下三组线段，请用尺规作图来判断每组的三条线段是否可以组成三角形.

（1）2cm，3cm，6cm；

（2）2cm，6cm，4cm；

（3）3cm，4cm，6cm.

组合	图形	结论
2cm，3cm，6cm		不可以
2cm，6cm，4cm		不可以
3cm，4cm，6cm		可以

 

提问3：由此你得到怎样的结论？

一般地，在三条线段中，若两条较短线段的和大于第三条最长的线段，那么这三条线段为边就可以构成一个三角形，否则将不能构成三角形.

继而得到：三条线段中，若任意两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段为边可以构成三角形，否则将不能构成三角形.

 

小结：在我们最初学习一类图形的时候，我们最先有的是定义，我们用定义去判断；当我们得出了结论后，我们也可以用结论去判断.

 

提问4：反观之，若我们已经有了一个三角形ABC，那我是否能够得到任意两边之和大于第三边这个结论？为什么？能不能用学习过的知识来解释？

线段是联结B、C的线段，线段c、b是联结B、C的折线段，根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，我们可以得到，同理可得.

所以，三角形任意两边之和大于第三边.

即

到这里，长度满足什么要求的三条线段可以组成三角形，以及反过来给出一个三角形，它的三边会有怎样的关系，我们都已经清楚了。

（充分性和必要性已经展现，不需要和学生谈及充要条件这个词，让学生自己体会。）

 

3. 层层深入

例1：的三边长分别为3.5，，8，求的取值范围.

解：

即

提问5：通过观察，有没有哪位同学能够告诉我们所代表的含义？

小于另两边之和，大于另两边之差（大边减小边）.

这里可能学生会直接出式来解决这个问题，我们仍然追寻着这个式子是怎么来的，来引出它与不等式组的等价.

提问6：由（1）式的成立可以得到的成立，那么由的成立是否也能够得到（1）式的成立？

可以（进一步说明了式是这三条线段可以构成三角形的条件）

提问7：问题来了，对于一个，设其边长为，我们是否有类似的结论呢？

三角形一边小于另两边之和且大于另两边之差的绝对值

 

根据三角形任意两边之和大于第三边，我们得到了一个不等式组：，我们不妨以为例，把它看成是关于的不等式组，

根据不等式性质，我们可以得到，从而得到. 反之，成立，则成立.

所以，我们又可以推出：

三角形的一边小于另两边之和且大于另两边之差的绝对值.（即（1）与（*）的等价）.

还可以得到：三角形任意两边之差小于第三边.

 

所以例1我们可以直接有解二：，得到.

 

例2：若一个等腰三角形的周长为12，（1）底边长的取值范围是多少？（2）腰长的取值范围是多少？

（1）解：设底边为.

从而得到：

 

 

（2）解：假设等腰三角形的腰长为，则底边长为.

从而得到：

 

 

提问8：若已知等腰三角形的周长为，那么底边长与腰长的取值范围是多少？

此题在已知等腰三角形周长的情况下，运用三角形三边关系来得到腰长的范围以及底边长的范围，巩固了学生对三角形三边关系以及等价命题的理解和应用。随后通过提问，希望学生能够稍稍深入，得到一般化的结论。

 

例3：已知一个三角形的周长为12，这个三角形的最长边取值范围是多少？

解：不妨假设三角形三边长分别为且.

 

提问9：若已知一个三角形的周长为，求三角形最长边的取值范围.

不妨假设三角形三边长分别为且.

此题在已知三角形周长的基础上，运用三角形的三边关系去得到三角形最长边的范围。仍然通过提问，希望学生能够深想一步，得到一般化的结论。

 

 

4. 总结（学生总结）

（1）三角形定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结组成的图形.

（2）若三条线段中，任意两条线段之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形.

（3）三角形任意两边之和大于第三边.

（4）三角形任意两边之差小于第三边.

（5）三角形的一边小于另两边之和且大于另两边之差的绝对值.

 

 

思考题：若一个三角形的周长为30，三角形各边互不相等且都为整数，符合条件的三角形共有几个？

 

对于本节课的思考：

一、学情分析

这节课是七年级第二学期第十四章三角形的第一节内容。三角形是平面几何里最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础，而本章的学习正处在从实验几何向论证几何的过渡期间，许多内容的呈现以实验归纳为主，同时也有通过说理来导出的，或是把实验归纳与推理论证结合起来阐述。这节课的学习，既是对已有知识起到巩固的作用，也是为即将学习的全等三角形、等腰三角形、直角三角形等知识和从实验几何过渡到论证几何的一个铺垫.

 

二、对于本节课教学的想法

1.多画图

对于这一章的学习，我们在教授过程中仍要注意多实验，多画图，培养学生在遇到问题时，能够在脑中构建不同情况的图形。我们时常在初三会觉得一些孩子在解决几何题时力不从心，要么是根据题意画不出相印的图形去分析，要么是在复杂的图形中抽象不出基本的几何图形从而找到突破口，那么这些能力潜移默化的积累是从实验几何就开始的，所以多画图多实验是不可忽视的。

 

2.定义的讲述

对于三角形的定义我不想一带而过，学习定义，关注定义中的每一个关键字词，是培养学生如何准确地用数学语言描述，以及培养审题习惯的一次契机。所以在设计的过程中大胆采用开放式的问法，让学生来给三角形下个定义。这个时候并不知道学生会用怎样的语言，只能遇招拆招，找到他们语言中不够精确的地方，并画出反例，让学生不断修正自己的语言，最终能够表达出关键词“不在同一直线上”、“首位顺次联结”，这比直接给出定义要好，能够引导学生去思考定义中每个关键词不可或缺的作用。

 

3.充分必要以及等价命题的讲述

“若三条线段中，任意两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段可以围成一个三角形；反之，三角形中，任意两边之和大于第三边.”不少学生认为这两句话是一回事，并不需要正过来反过去地说，但这里面隐含的是充分必要条件。处在实验几何与论证几何的过渡期，长度满足什么条件的三条线段可以围成三角形，用实验几何归纳总结，而反过来，三角形三边的性质用线段的基本性质来说理，采用这样的方式，学生清楚明了也易于掌握。在这个问题上，我们在讲述中不会出现充分必要或者是等价之类的词，但是我们希望的是，不同层次的学生能够得到各自的收获，一部分学生会明白其中的意义，另一部分学生能够经历这样的一个思考方式。在课堂教学中渗透着这些思想方法，也为这节课后续一些结论的等价命题的说理做了铺垫。

 

4.提问推进

三角形的定义 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形（任意）一边小于另两边之和，大于另两边之差的绝对值例题小结

本节课设计了9个提问（教案上已注明）贯穿以上整个流程，推进课堂内容的铺设。问题的提出能够深化学生对数学知识本质的理解与数学知识的获得，培养学生思维的发散性与逻辑的缜密性，促进学生数学技能的习得与问题解决能力的提升，与此同时，有效提高学生课堂的参与度、数学学习兴趣、数学自信等积极的数学情感，创建出一个积极的、良好的课堂学习环境。

例如提问2：若给定三条线段，我们如何用定义去判断它们能否构成三角形？（三条线段可以运动），这个问题的设计首先是引导学生明确探讨几何问题的顺序，在我们没有其他定理或结论之前，定义是我们唯一的判断标准；其次，用定义去判断必然要求学生关注定义中的关键词，并知道其实是要判断这三条线段是否能够做到首尾顺次联结。深化对概念的理解；这时再辅以教具展示让学生有直观感受，再从具体到抽象，让学生自然联想到用画图来体会和判断，继而归纳出结论。再如提问6：

由（1）式的成立可以得到的成立，那么由的成立是否也能够得到（1）式的成立？这个问题的设计看似无用，但实际上是为了让学生体会到与（1）式的等价，这也就说明了为什么我们可以直接运用来解决问题，从而下一步得到一般化的结论。

学生对待问题的思考方式，很多时候都是在课堂上通过这样一个个的提问而慢慢培养起来的，所以在课堂上，我们不仅局限于满足一节课的教学基本要求，更希望能够渗透更多的严谨的数学思维模式，让学生能够潜移默化地养成良好的思维习惯。

 

5.例题铺设，层层深入

从对三角形三边关系的直接应用（例1），从而引出根据三角形三边关系去推出与之等价的结论；再到应用三边关系以及结论去寻找已知周长的等腰三角形腰与底的取值范围（例2），从而得到一般化结论；再到已知周长的三角形最长边取值范围（例3）并推出一般化结论。从每个例题来看，三个例题的设计各有各的用意，并带领学生能够更深一步地去看待问题。从整体布局来看，例题的设计由浅入深，在解决问题的过程中又能够提高学生研究变量之间的关系的能力、分类讨论的能力、从特殊到一般的归纳总结能力，而实际上，剥开洋葱的表皮看到其本质，仍然是对核心结论的灵活应用，深化对核心结论的理解。

 

 

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